BP算法是很多人入门深度学习学习的第一个门栏，因为这个算法太基础了，不懂这个算法就等于深度学习没吃透。大多数人在看推导的时候就放弃了，其实抽象的公式+实例化的案例就很好理解了。
下面看一个BP算法的应用案例，帮助理解：
几个基础公式：
1）sigmoid函数的导数
2）均方差函数的梯度
一、网络结构
第一层是输入层，包含两个神经元i1，i2，和截距项b1；
第二层是隐含层，包含两个神经元h1,h2和截距项b2；
第三层是输出层，输出o1,o2。
每条线上标的wi是层与层之间连接的权重，激活函数我们默认为sigmoid函数。
二、应用实例说明
Step 1 前向传播
1.输入层---->隐含层
计算神经元h1的输入加权和：
神经元h1的输出o1:(此处用到激活函数为sigmoid函数)：
同理，可计算出神经元h2的输出o2：
2.隐含层---->输出层
计算输出层神经元o1和o2的值：
这样前向传播的过程就结束了，我们得到输出值为[0.75136079 , 0.772928465]，与实际值[0.01 , 0.99]相差还很远，现在我们对误差进行反向传播，更新权值，重新计算输出。
Step 2 反向传播
1.计算总误差
总误差：(square error)
但是有两个输出，所以分别计算o1和o2的误差，总误差为两者之和：
2.隐含层---->输出层的权值更新
以权重参数w5为例，如果我们想知道w5对整体误差产生了多少影响，可以用整体误差对w5求偏导求出：（链式法则）
下面的图可以更直观的看清楚误差是怎样反向传播的：
现在我们来分别计算每个式子的值：
计算
：
计算
：
（这一步实际上就是对sigmoid函数求导，比较简单，可以自己推导一下）
计算
：
最后三者相乘：
这样我们就计算出整体误差E(total)对w5的偏导值。
回过头来再看看上面的公式，我们发现：
为了表达方便，用来表示输出层的误差：
因此，整体误差E(total)对w5的偏导公式可以写成：
如果输出层误差计为负的话，也可以写成：
最后我们来更新w5的值：
（其中，是学习速率，这里我们取0.5）
同理，可更新w6,w7,w8:
3.隐含层---->隐含层的权值更新：
方法其实与上面说的差不多，但是有个地方需要变一下，在上文计算总误差对w5的偏导时，是从out(o1)---->net(o1)---->w5,但是在隐含层之间的权值更新时，是out(h1)---->net(h1)---->w1,而out(h1)会接受E(o1)和E(o2)两个地方传来的误差，所以这个地方两个都要计算。
计算
：
先计算
：
同理，计算出：
两者相加得到总值：
再计算
：
再计算
：
最后，三者相乘：
为了简化公式，用sigma(h1)表示隐含层单元h1的误差：
最后，更新w1的权值：
同理，额可更新w2,w3,w4的权值：
这样误差反向传播法就完成了，最后我们再把更新的权值重新计算，不停地迭代，在这个例子中第一次迭代之后，总误差E(total)由0.298371109下降至0.291027924。
迭代10000次后，总误差为0.000035085，输出为[0.01 5912196,0.984065734](原输入为[0.01,0.99]),证明效果还是不错的。
参考
[1] https://www.cnblogs.com/charlotte77/p/5629865.html
[2] https://segmentfault.com/a/1190000021529971
